Dal concetto, alla comprensione

01Lug09

\lim_{x \to \infty} {1\over x} = 0

Non tutti riusciranno a comprendere ciò che ho appena scritto (a parte il fatto che LaTeX su WordPress non va come su Wikipedia :( , infatti non mi ha reso la notazione del limite come si dovrebbe, ma voi accontentatevi lo stesso :mrgreen: ) poichè è qualcosa che ha a che fare con la matematica.

Secondo me la matematica viene resa molto complicata ed astratta di quanto invece lo sia.

Trecentosessantatre anni fa nasceva a Lipsia (Germania) un filosofo, scienziato, matematico, glotteta, diplomatico, bibliotecario e avvocato (un personaggio eclettico, per intenderci). Parlo di Gottfried Wilhelm von Leibniz, a lui è infatti attribuita la paternità del concetto di limite (anche se quacuno ritiene Sir Isaac Newton il vero padre).

Ma cosa è questo limite?

E’ un concetto matematico, di analisi matematica nello specifico, ma per certi versi può essere riadattato ad un concetto filosofico.

Se in matematica rappresenta il valore a cui una funzione (o una successione) tende a valori che si avvicinano sempre più ad una certa soglia (si può rendere visivamente con un po’ di geometria analitica, che non guasta mai), in filosofia può racchiudere il concetto di utopia.

Il concetto è relativamente semplice eppure chi lo trova nuovo lo vedrà estremamente difficile e complesso.

Facciamo un esempio, consideriamo la funzione f(x) = {1 \over x} , non è molto difficile, se è “funzione” il termine nuovo, basta sapere che si può considerare come un’espressione il cui valore cambia a seconda del valore che diamo al suo argomento, per esempio in una funzione come f(x) il valore della funzione cambia variando il valore di x (è più giusto dire nel linguaggio matematico f(x) è in funzione di x).

Se ora cambiano la x a f(x) = {1 \over x} si ottiene qualcosa del genere:

f(2) = {1 \over 2} = 0,5

f(3) = {1 \over 3} = 0, \overline{3} \approx 0,33

f(4) = {1 \over 4} = 0,25

f(9) = {1 \over 9} = 0, \overline{1} \approx 0,11

f(1000) = {1 \over 1000} = 0,001

E’ logico che all’aumentare della x il valore di f(x) si avvicina sempre più a 0.

Quindi se prendiamo un valore ancora più grande, ma molto più grande… insomma, quale è la cosa più grande inimmaginabile? Naturalmente l’infinito, il quale si indica col simbolo \infty . Possiamo quindi dedurre che f(\infty) = 0 .

Questo concetto che ho cercato di dimostrare con diverse prove, si chiama, come detto all’inizio, limite; il limite di 1 \over x per valori di x che tendono (si avvicinano sempre di più) ad infinito, si usa scrivere in questo modo:

\lim_{x \to \infty} {1\over x}

Siccome abbiamo dimostrato che è zero, possiamo infine scrivere:

\lim_{x \to \infty} {1\over x} = 0

Graficamente questo si dimostra in questo modo:

Sappiamo che 1\over x è un’iperbole equilatera, e quindi il grafico è qualcosa del genere:

1 over x

Notiamo quindi che muovendoci verso valori sempre più alti della x (quindi muovendoci orizzontalmente a destra), il valore della y decresce e si avvicina sempre più allo 0. E quindi ecco dimostrato graficamente il concetto.

Per concludere, il teorema “di fondo” che volevo dimostrarvi era che un concetto potrà essere semplice, ma paradossalmente la comprensione è molto più complicata!


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2 Responses to “Dal concetto, alla comprensione”  

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  1. 1 navback on 2 Luglio 2009 said:

    @Sekunden beh, non è così complicato il concetto, ma è difficile comprendere il concetto.

    Per concludere, il teorema “di fondo” che volevo dimostrarvi era che un concetto potrà essere semplice, ma paradossalmente la comprensione è molto più complicata!

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  2. 2 Sekunden on 2 Luglio 2009 said:

    Ma tu sei folle.
    Comunque sia, non sono riuscita a seguire il discorso xD

    Replica

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